вообще неясный вопрос...
Если речь идет о том, что письмо отправлено через Вэб интерфейс и ты хочешь их выковырять их взяд - забудь, они не в ведении POP сервера
если речь идет о отправленных через SMTP - опять таки, по умолчанию - никак
Как оставлять копии на сервере...раз речь идет о Птице (явно не о Вэб почте), то, навероне, только с помощью IMAP - создать папку на ИМАП сервере и указать в настройках сохранять отправленные - как раз в этой папке на сервере.

Поясняю...

Речь идет о Веб-интерфейсе...
Если я отправил письмо не через клиента, а непосредственно на mail.ru (к примеру) - существуют ли пути скачнуть это письмо...

Допустим если я на работе рабочую почту просматриваю через клиента, а дома могу зайти только через Веб-интерфейс.
а хотел бы все это дело немного синхронизировать...

Это как понимать? Может, оставленные на сервере сообщения? Если ты сообщение отправил, забрать его сможет только адресат (или хакер, перехватывающий чужую почту через снифер).

Зайди в свойства аккаунта, Параметры сервера, там справа смотри менюшка - Оставлять письма на сервере, поставь тута галочку. Можно даже указать, через скоко дней удалять письма с сервера (при желании конечно).

Что касается Microsoft Outlook Web Access не знаю, ни разу не видел.
Чтобы TB помещал отправляемую почту в нужную папку, в настройках учетной записи в пункте "Копии и папки" выберите "Другую папку", должно сработать.

IMAP - проще простого, просто поручите Thunderbird сохранить письма после отправления в удаленной папке.

SMTP - можно послать скрытую копию самому себе, и создать фильтр на сервере чтобы они складывались в определенную папку, и поручить Thunderbird свои письма с сервера не качать.