Что значит "не скачивает"? Вы их не можете получить вообще, или не можете удалить, или просто нужно сжать папки?

Дело ясное, что дело темное.
1. По какому протоколу (POP/IMAP) получаете почту в TB?
2. По какому протоколу (POP/IMAP) пытались получить почту в аутлуке?

Могу предположить, что 1 - IMAP, и 2 - POP. В этом случае ничего удивительного нет.

Вкратце, ситуация такая. При использовании IMAP почта хранится на сервере и клиент получает письма (или части писем, если это поддерживает сервер) по мере необходимости. Кстати в TB, в отличие от OE я не нашел возможности получить только заголовки писем, чтобы можно было решить, грузить их, или удалить прямо на сервере. Кроме этого, по IMAP возможно создание вложенных папок и перемещение писем между папками средствами сервера, а так же поиск по содержимому без загрузки всех писем (т.е., ищет сам сервер).

Обычный вариант использования протокола POP3 предполагает только получение писем с сервера, плюс их удаление. В принципе, так же возможно получение указанной части сообщения. Имеется возможность не удалять сообщения с сервера.

Если предполагается использование почтового ящика из разных мест, однозначно нужно использовать протокол IMAP, т.к. кроме возможности хранения почты на сервере еще имеется возможность устанавливать различные метки на письма, которые будут работать независимо от того, откуда вы подключились.

Что произошло (имхо), При подключении по POP3 клиент честно скачал все письма, затем, т.к., скорее всего, в настройках не было указано не удалять письма, честно их удалил. Когда подключились по IMAP, увидели то, что и должно было произойти - все письма удалены.

Теоретически, эти письма можно попробовать поискать в кеше TB, или настроить OE по IMAP и посмотреть - может быть просто эти письма лежат как помеченные для удаления (вроде как в OE для этого нужно включить показ удаленных писем). В TB, к сожалению, я не нашел возможности просмотреть удаленные письма.

Понятно, огромное СПСБ