Я всё перепробывал, что здесь описано, кроме установки внешних дополнений, но ничего не помогало. Сохранение пароля так и не заработало, не появлялось даже окошко с ключиком и предложением. Осенило, что нужно было как следует покопаться в других настройках (в частности во вкладке "Приватность"), а не только во вкладке "Защита", о которой тут писали. Теперь всё зарабало как надо, и пароли сохраняются, причём не один, а сколько хочешь и подставляются потом из меню, если щёлкнуть по окошкам ввода и выбрать нужный, и ничего не слетает. Может кому то мой опыт окажется полезным, ниже я выложил что мне пришлось для этого изменить у себя относительно дефолтного настроя:

Сначала делаем так:

Потом, проверяем то, что "под стрелкой":

З.Ы. Речь идёт о Firefox v.16.0.2