Через web-интерфейс скопировать письма из "Отправленные" во "Входящие", принять их в Thunderbird, после чего письма во "Входящих" отфильтровать по адресу отправителя (своему) и переместить в "Отправленные".

В будущей работе учтите, что письма всегда отправляются через сервер SMTP, который, строго говоря, не имеет никакого отношения ни к POP3, ни к IMAP, поэтому то, что они через IMAP видны - исключительно добрая воля организаторов конкретного почтового сервера (у меня есть ящики на серверах, где отправленные и через IMAP не видны). Поэтому важно в настройках ящика в Thunderbird правильно указать, куда складывать копии отправляемых писем.