в настройках учетной записи выбираем пункт "Автономная работа и дисковое пространство", жмем кнопку "Выбрать папки доступные в автономном режиме" и ставим галочки напротив папок письма в которых нужно иметь возможность просматривать будучи отключенным от Интернета.

lorddm
Вы определитесь, IMAP или POP3
У IMAP этот пункт называется "Автономная работа и дисковое пространство", у POP3 - "Дисковое пространство"
В случае IMAP письма хранятся на сервере, а на компьютере хранится только список писем (от кого, кому, тема, когда пришло и т.п.), но не сами письма. Если нужно принудительно заставить скачивать письма на компьютер, чтобы можно было их посмотреть не будучи подключенным к Интернету, то нужно указать в настройках, чтобы папка была доступна автономно.
В случае POP3 письмо всегда скачивается на компьютер и хранится в специальном файле. Кроме случая, когда в настройках в пункте "Параметры сервера" специально указано "Загружать только заголовки сообщений", тогда сначала программа спрашивает у сервера какие на нем есть письма, после чего их можно либо удалить прямо с сервера, либо скачать.