Стоит закрыть браузер и заново его открыть, как он выходит со всех аккаунтов на которые я зашёл, и мне придётся каждый раз при входе в браузер писать почту и пароль. И так, каждый раз. Что делать?

Проверьте в настройках, не стоит-ли галочка на пункте "Удалять куки и данные сайтов при закрытии Firefox" в разделе "Приватность и защита".