В поиске такие проблемы встречал, нашёл несколько закрытых тем без ответа на вопрос.
Firefox не сохраняет закладки и историю посещений. Установленные дополнения Xmarks, Flashgot, URL-Album plugin
Версия лисы 3.6.20
Иногда закладка сохраняется, но в ней оказывается совсем не та ссылка, которая должна быть...

fregat пишет

Иногда закладка сохраняется, но в ней оказывается совсем не та ссылка, которая должна быть...

Кто-то хулиганит. Найти и покарать!

Грешу на Xmarks, попробуйте его отключить.

Tiger.711 пишет

Грешу на Xmarks, попробуйте его отключить.

Отключил, не помогло. Сперва закладка сохранилась, а после перезапуска FF исчезла.
Кстати, в адресной строке всё ещё хранится история посещений 2 месячной давности, когда ещё всё исправно работало. Причём никак не удаляется, хотя делал полную очистку (кэш, история, кукисы).
Новая история посещений страниц в адресную строку теперь вообще не попадает.

fregat
На вирусы проверял?
Безопасный режим пробовал?

Artem_S пишет

fregat
На вирусы проверял?
Безопасный режим пробовал?

На вирусы проверил, наден один вирус и удалён. Но проблема осталась.
Безопасный режим не пробовал - не нашёл, где он включается.

Как запустить Firefox в безопасном режиме? последний спойлер

fregat пишет

Безопасный режим не пробовал - не нашёл, где он включается.

читаем FAQ
Руководство по поиску причин возникновения проблем и их устранению