При загрузке браузера открывает сохранённые аж две недели назад вкладки. Те что были открыты в тот момент как я скачала и установила пятую версию (т.е. полностью игнорирует новые и уже закрытые старые).

Как сделать так, чтобы он сохранял только актуальные вкладки, т.е. последние перед закрытием браузера (как это было сделано в четвёртой версии)? 

Заранее благодарю за помощь!

Полагаю, что до тех пор, пока Вы не сообщите, каким способом (их несколько, см. FAQ) Вы сохраняете сессию - никак.
Могу отметить, что еще в четвертой версии я установил параметр browser.showQuitWarning в true, и с тех пор, когда закрываю, получаю тот же запрос, что в 3.х, и если прошу выйти с сохранением, то при открытии получаю ровно предыдущую сессию и ничего лишнего.

Krodd
Посмотрите FAQ.