Есть ли возможность выгрузить ВСЮ почту с сервера?
Т.е. такая ситуация - я на работе получаю почту, прихожу домой, и соотв. не имею доступа к полученому письму, хотя на сервере оно есть.

А у тебя ящик не на gmail'е? Если на нем, то можно в свойствах учетной записи в TB имя пользователя написать в виде recent:imyapolzovatelya@gmail.com. Тогда принудительно загружаются письма за последние 30 дней, а потом подгружаются новые по мере поступления

увы, нет. Это зависит не от программы, а от почтового сервера? Он все писма никак отдавать не хочет?