Вопрос: Как сохранить все настройки, установленные дополнения, темы и прочее, чтобы после переустановки программы не приходилось скачивать, устанавливать и настраивать дополнения, расширения, темы и всё остальное снова?

Ответ: Можно использовать созданные для этого расширения (FEBE) или отдельные программы (MozBackup), но проще, быстрее и надёжнее всего сохранить содержимое папки профиля вручную. После переустановки программы в новой системе достаточно будет скопировать содержимое старого профиля в папку с новым.
Важно: некоторые расширения могут хранить часть пользовательских данных (это может быть, например, почта, сохранённые в web-альбом страницы, сохранённые пользователем сессии и т. д.) вне папки профиля (как правило, такое поведение задаётся пользователем). Убедитесь, что настройки этих расширений не изменялись или пользовательские данные также были сохранены!

Обсуждение.
Ещё обсуждение.

Самый простой и быстрый способ найти папку рабочего профиля в Firefox 4 и выше:
«Справка → Информация для решения проблем → Папка профиля (кнопка „Открыть его папку”)» (данный способ работает также в portable-версии).

Обсуждение переноса данных из профиля portable-версии.

FEBE удалено с AMO, а MozBackup не обновлялся почти 10 лет, так что лучше вручную. Тем более что есть официальная справка:

• Резервирование и восстановление данных в профилях Firefox
  
• Восстановление важных данных из старого профиля

Перенос на новый профиль настроек страницы новой вкладки (Домашняя страница Firefox)
С помощью расширенных настроек на странице about:config. (Но если вы решили перекинуть в новый профиль весь файл pref.js, то всё нижеперечисленное делать не надо.)
Изменённые у вас параметры выделены у вас в about:config жирным шрифтом — на них и обращаем внимание!!!
Значения этих параметров (а не сами параметры) скопировать и вставить на новом профиле:
browser.newtabpage.pinned (строка) — сайты, закреплённые в топе сайтов на новой вкладке.
browser.newtabpage.blocked (строка) — сайты, удалённые вручную из топа сайтов на новой вкладке.

Если настраивали поиск на новой вкладке, то можно скопировать значения этих параметров:
browser.newtabpage.activity-stream.improvesearch.topSiteSearchShortcuts.havePinned и
browser.newtabpage.activity-stream.improvesearch.topSiteSearchShortcuts.searchEngines
— два параметра про поисковые ярлыки. Если у вас это не выделено жирным, то копировать незачем.

Следующие параметры просто переключаются:
browser.newtabpage.activity-stream.improvesearch.handoffToAwesomebar — автоматически перемещать (true) или не перемещать (false) курсор из строки поиска на новой вкладке в адресную строку.
browser.newtabpage.activity-stream.improvesearch.topSiteSearchShortcuts — поисковые ярлыки разрешить (true) / отключить (false).
browser.newtabpage.activity-stream.showSponsored и
browser.newtabpage.activity-stream.showSponsoredTopSites
— показывать или нет «спонсированные» (рекламные) ярлыки.

Остальные полезные параметры, перечисленные ниже, можно настроить через меню ≡ > Настройки > Начало > Домашняя страница Firefox. Но при желании это можно сделать и через about:config: везде, где true или false — true включает, а false отключает.
browser.newtabpage.enabled — показывать на новых вкладках Домашнюю страницу Firefox (true) или просто пустую страницу (false) — в последнем случае все остальные настройки безсмысленны.
browser.newtabpage.activity-stream.feeds.section.highlights — показ «последних действий», в том числе:
browser.newtabpage.activity-stream.section.highlights.includeBookmarks — закладок,
browser.newtabpage.activity-stream.section.highlights.includeDownloads — загрузок,
browser.newtabpage.activity-stream.section.highlights.includePocket — страниц, сохранённых в Pocket,
browser.newtabpage.activity-stream.section.highlights.includeVisited — посещённых страниц.
browser.newtabpage.activity-stream.section.highlights.rows — число строк для раздела «Последние действия».
browser.newtabpage.activity-stream.feeds.topsites — раздел «Ярлыки» ("топ" сайтов — сохранённые или часто посещаемые сайты).
browser.newtabpage.activity-stream.topSitesRows — число строк для раздела «Ярлыки».
В обычных настройках максимальное число строк для ярлыков = 4 и для "последних действий = 4, но через about:config можно установить и больше.

Как изменить (и тем же способом перенести изменения на новый профиль) число строк и размер плиток

Число ярлыков в каждой строке зависит от ширины строки. По умолчанию она ограничена 986 пикселями. Для изменения этого значения сначала надо в about:config включить пользовательские стили: toolkit.legacyUserProfileCustomizations.stylesheets = true. А затем в папке вашего профиля создать папку Chrome (если её там нет), а в ней — создать текстовый файл userContent.css
Обратите внимание! Именно userContent.css — а не userContent.css.txt — проверьте это, включив в Проводнике показ расширений файлов!
В этот файл добавьте такой код:

Выделить код

Код:

@-moz-document url("about:newtab"), url("about:home") {
.ds-outer-wrapper-breakpoint-override main {
	width: 85% !important;
}
}

В этом примере место для ярлыков расширено до 85% ширины окна. Можно использовать любой процент до 100%; но меню плиток (а в старых версиях ещё и меню управления разделом), которое появляется при щелчке по трём точкам "…" на новой вкладке, всегда появляется справа от "…", и если места не хватает, то строки этого меню отображаются не полностью. Можно указывать размер и в пикселях вместо процентов.
При расширении места под значки число строк соответственно уменьшится, несмотря на настройки числа строк. Дело в том, что для программы одна строка на новой вкладке всегда = 8 ярлыкам, а изменение места под ярлыки с помощью стиля не приводит к перерасчёту этого значения. Просто после изменения ширины нужно подобрать подходящее число «строк».
Размер ярлыков («плиток») тоже настраивается: можно стилем, а можно так же, как масштаб любого сайта.