Мне приходит в голову только, что Фаерфокс использует порты 80, 443, а Опера может выходить по любым портам.
Похоже на то, что браузеры просто зафаерволены. Операционная система какая? Какой фаервол стоит?
Доктор Вэб обновляется без проблем?

Для проверки на вирусы можно использовать Malwarebyte's Antimalware (free версия).
Желательно обновив перед этим базы, на вкладке "Установка" установить галочки:
- Автоматически сохранять отчет после окончания сканирования.
- Автоматически открывать отчет сразу после сохранения.

Этот самый отчет (лог) показать здесь.

Плюс, сделать лог HiJack This
Запустить, и нажать кнопку "Do a system scan and save a logfile". Лог появится в той же папке, что и сама программа - hijackthis.log