Мне нужно, чтобы сайт мог проверить установлено ли у пользователя расширение или нет? Такое возможно?
Речь про одну панель-надстройку.

Видимо, никак, если только по косвенным признакам как, например, детектят наличие Adblock (скрипт видит, что страницу поковеркали и делает предположение, что это сделал Adblock)
Если расширение Ваше, то можно просто сделать отправку на сайт инфы при его посещении, хотя я такое расширение не поставил бы...

Если свое расширение - то можно. Создавайте расширением какую-нить локальную переменную или тэг, а на сайте проверяйте его наличие.