Обновился с Thunderbird 2.0.0.24 до Thunderbird 3.0.4
Установил дополнение MinimizeToTray revived.
Теперь через каждые 10 минут (очевидно время проверки наличия новых писем) в трее еще появляется значок нового письма.
Захожу в почту, а новых писем нет. После нажатия получить, значок исчезает.

Фильтров, которые могли бы перемещать письма не стоят.
Производил сжатие папок и переиндексацию, не помогло.
Пробывал MinimizeToTray Plus, не помогло.

методом проб и ошибок удалось найти необычное решение.
Если в Параметрах сервера выставить опции:
Оставлять копии сообщений на сервере
Пока я не удалю их,
то ложное уведомление о новом письме не появляется

А обновить до версии TB 3.1.4 , не поможет?

Sega82 пишет

А обновить до версии TB 3.1.4 , не поможет?

установка 3.1.3 не помогала