Почтовый ящик настроен для работы по IMAP протоколу.
Папка INBOX имеет вложенные папки допустим 1 2 3 4.
Настроены фильтры сообщений, которые, в зависимости от отправителя,
сортируют почту по папкам.
В свойствах почтового ящика на вкладке "Параметры сервера" стоит
галочка "Проверять наличие новых сообщений каждые - 3 мин".
Если почтовый клиент держать постоянно открытым и отойти от
компьютера на продолжительное время, то по возвращении и после
разблокировки thunderbirb не показывает наличие новых писем в папках.
Нужно кликнуть на каждую папку мышкой, после этого происходит
синхронизация с сервером и подтягиваются новые письма.
Как сделать чтоб новые письма подтягивались автоматом, даже если за
компьютером никто не работает?

Кликните на папку правой кнопкой, в свойствах папки поставьте галочку "Проверять эту папку на наличие новых сообщений"

Если ещё актуально.