Тоже столкнулся с такой же проблемой. Как её решить - не знаю.

Но заметил, что пришедшие (но не показываемые Thunderbird'ом автоматически, без необходимости захождения в папку "Входящие") письма Thuderbird всё-таки заметит и покажет. Хоть это Thunderbird сделает не сразу, но сделает, безо всякого вмешательства человека. Сколько ждать нужно - не знаю. У меня был случай, что Thunderbird показал письмо через несколько часов после реального прихода на почтовый ящик (и это письмо было видимо через web-интерфейс сразу при приходе),

Я просто смирился и не обращаю внимание ввиду того, что письма у меня не очень важные. Ну, пришлёт мне какой-нибудь сайт информацию об изменении своих правил. Если я прочитаю это письмо не сразу, а через, допустим, 4-5-6-7 часов, то ничего в этом страшного.

В случаях, когда письма важные и требуют немедленных прочтения и реакции (например, из милиции, из налоговни, от правительства, рабочие, из банков, и т.п.), то беда.