Решил проблему. Заключалась она в том, что у меня письма сортируются по папкам (это делает сервер яндекса по настроенным мною фильтрам). Так вот когда письма приходят просто в папку Входящие, то в трее сразу всплывают уведомления. А вот если письмо пришло в одну из папок, то уведомления не всплывают, хотя письмо уже загружено в папку Thunderbird и его можно прочитать.
Решение простое - надо на каждую папку в почтовом ящике нажать правой кнопкой и зайти в Свойства. Там надо поставить галочку "При получении новых сообщений для этой учётной записи всегда проверять эту папку"